miércoles, 20 de junio de 2012

Pontencial electrico

Potencial eléctrico

 
El potencial eléctrico en un punto es el trabajo que debe realizar un campo electrostático para mover una carga positiva q desde el punto de referencia, dividido por unidad de carga de prueba. Dicho de otra forma, es el trabajo que debe realizar una fuerza externa para traer una carga unitaria q desde la referencia hasta el punto considerado en contra de la fuerza eléctrica. Matemáticamente se expresa por:
V = \frac{W}{q} \,\!
El potencial eléctrico sólo se puede definir para un campo estático producido por cargas que ocupan una región finita del espacio. Para cargas en movimiento debe recurrirse a los potenciales de Liénard-Wiechert para representar un campo electromagnético que además incorpore el efecto de retardo, ya que las perturbaciones del campo eléctrico no se pueden propagar más rápido que la velocidad de la luz. Si se considera que las cargas están fuera de dicho campo, la carga no cuenta con energía y el potencial eléctrico equivale al trabajo necesario para llevar la carga desde el exterior del campo hasta el punto considerado. La unidad del sistema internacional es el voltio(V). Todos los puntos de un campo eléctrico que tienen el mismo potencial forman una superficie equipotencial.

Trabajo eléctrico y energía potencial eléctrica
Considérese una carga puntual q en presencia de un campo eléctrico \vec E cualquiera. La carga experimentará una fuerza eléctrica:
(1) \vec F=q \vec E \,\!
Esta fuerza realizará un trabajo para trasladar la carga de un punto A a otro B, de tal forma que para producir un pequeño desplazamiento dl la fuerza eléctrica hará un trabajo diferencial dW expresado como:
(2) dW={\vec F} \cdot d \vec{l}= F \, dl\cos (\theta) \,\!
Teniendo en cuenta la expresión (1):
(3) dW=\vec F \cdot d \vec l = q \vec E \cdot d \vec {l} \,\!
Por lo tanto, integrando obtenemos que el trabajo total realizado por el campo eléctrico será:
(4) W=\int_{A}^{B} q\vec E \cdot d \vec l \,\!
Figura 1
En un caso concreto con un campo eléctrico definido: Sea una carga puntual q que recorre una determinada trayectoria A - B en las inmediaciones de una carga Q tal y como muestra la figura 1. Siendo dr el desplazamiento infinitesimal de la carga q en la dirección radial, el trabajo diferencial dW se puede expresar así:
(5) dW = \vec F \cdot d \vec l=F \, dl \cos(\theta)=F \, dr \,\!
Para calcular el trabajo total, se integra entre la posición inicial A, distante r_A \,\! de la carga Q y la posición final B, distante r_B \,\! de la carga Q:
(6) W=\int_{A}^{B} F dr =\int_{A}^{B} \frac {1}{4\pi{\epsilon}_0}\frac{Qq}{r^2} \, dr=\frac {Qq}{4\pi{\epsilon}_0}(\frac{1}{r_A}-\frac {1}{r_B})
De la expresión (6) se concluye que el trabajo W no depende de la trayectoria seguida por la partícula, sólo depende de la posición inicial y final, lo cual implica que la fuerza eléctrica {\vec F} \,\! es una fuerza conservativa. Por lo tanto se puede definir una energía potencial que permite calcular el trabajo más fácilmente:
(7) E_p=\frac {1}{4\pi{\epsilon}_0}\frac{Qq}{r}
El trabajo realizado por la fuerza eléctrica para desplazar una partícula entre A y B será:
(8) W = -\Delta E_p = E_{p_A} - E_{p_B}

Por convención, el nivel cero de energía potencial se suele establecer en el infinito, es decir, si y sólo si r=\infty \rightarrow E_p=0 \,\!.

Campo eléctrico uniforme
Sean A y B dos puntos situados en un campo eléctrico uniforme, estando A a una distancia d de B en la dirección del campo, tal como muestra la figura.
Una carga de prueba q se mueve de A hacia B en un campo eléctrico uniforme E mediante un agente exterior que ejerce sobre ella una fuerza F.
Considérese una carga de prueba positiva q moviéndose sin aceleración, por efecto de algún agente externo, siguiendo la recta que une A con B.
La fuerza eléctrica sobre la carga será qE y apunta hacia abajo. Para mover la carga en la forma descrita arriba, se debe contrarrestar esa fuerza aplicando una fuerza externa F de la misma magnitud pero dirigida hacia arriba. El trabajo W \,\! realizado por el agente que proporciona esta fuerza es:
W_{AB}=Fd=qEd \,\!
Teniendo en cuenta que:
V_B-V_A=\frac{W_{AB}}{q} \,\!
sustituyendo eso que esta mal se obtiene:
V_B-V_A=\frac{W_{AB}}{q}=Ed \,\!
Esta ecuación muestra la relación entre la diferencia de potencial y la intensidad de campo en un caso sencillo especial.
El punto B tiene un potencial más elevado que el A. Esto es razonable porque un agente exterior tendría que hacer trabajo positivo para mover la carga de prueba de A hacia B.
Una carga de prueba q se mueve de A hacia B en un campo eléctrico no uniforme E mediante un agente exterior que ejerce sobre ella una fuerza F.

 Campo eléctrico no uniforme

En el caso más general de un campo eléctrico no uniforme, este ejerce una fuerza q\vec E \,\! sobre la carga de prueba, tal como se ve en la figura. Para evitar que la carga acelere, debe aplicarse una fuerza \vec F \,\! que sea exactamente igual a -q\vec E \,\! para todas las posiciones del cuerpo de prueba.
Si el agente externo hace que el cuerpo de prueba se mueva siguiendo un corrimiento d \vec l \,\! a lo largo de la trayectoria de A a B, el elemento de trabajo desarrollado por el agente externo es \vec F \cdot d\vec l\ \,\!. Para obtener el trabajo total W_{AB} \,\! hecho por el agente externo al mover la carga de A a B, se suman las contribuciones al trabajo de todos los segmentos infinitesimales en que se ha dividido la trayectoria. Así se obtiene:
W_{AB}=\int_{A}^{B}\vec F \cdot d \vec l=-q\int_{A}^{B}\vec E \cdot d \vec l \,\!
Como V_B-V_A=\frac{W_{AB}}{q} \,\!, al sustituir en esta expresión, se obtiene que
V_B-V_A= -\int_{A}^{B}\vec E \cdot d \vec l \,\!
Si se toma el punto A infinitamente alejado, y si el potencial V_A \,\! al infinito toma el valor de cero, esta ecuación da el potencial en el punto B, o bien, eliminando el subíndice B,
V= -\int_{\infty }^{B}\vec E \cdot d \vec l \,\!
Estas dos ecuaciones permiten calcular la diferencia de potencial entre dos puntos cualesquiera si se conoce \vec E \,\!.
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